Подскажите, пожалуйста, если кто знает, можно ли на арендованной машине выезжать из страны и можно ли пересекать несколько границ, типа Сербия, Болгария (транзитом), Турция?

Можно, но перед арендой обязательно расскажите о своих планах, вам дадут машину с правом пересечения границ и грин картой.

И обратите внимание, если Вы из рф в Болгарию нужна виза.