Если приехать и остановиться в гостинице, они подают уведомление о прибытии. Это и есть та самая заветная бумага что даёт шанс остаться на 90 дней?

Шанс остаться в Казахстане до 90 дней у граждан стран ЕАЭС (включая Россию) есть по умолчанию. Просто по факту легального въезда в Казахстан. Уведомление - это параллельный процесс. Уведомить обязана принимающая сторона (хостел, отель, хозяин квартиры). И ответственность за неуведомление несёт только принимающая сторона. Это уведомление никак не влияет на срок легального нахождения иностранца в Казахстане (для граждан стран ЕАЭС до 90 дней).