Подскажите, какой документ можно оформить в Лиме для длительного пребывания здесь? Более 3х месяцев. Куда обратиться, какие документы нужны? Какую-то миграционную карту или типа dni.

Основания, вроде как, должны быть для этого. Работа, брак и т. д.

DNI-это уже гражданство. если у вас нет рабочей визы или не в браке с перуанцем, просто так карнет экстранхерия (ВНЖ) вам не дадут.

Как мне объяснили в OIM, таких способ без работы и брака нет:( Вариант- покинуть страну и пробовать заехать заново (количество дней скажут на границе, гарантий нет), либо оставайтесь сколько нужно и перед вылетом оплачиваете штраф 4.95 солей в день.