Можно, если купить квартиру, подать на ВНЖ ребенку 16 лет, не привозя его в страну? И как это делается?

Насколько я знаю, ВНЖ только при личном присутствии.

Нет нельзя так. В паспорте должна быть отметка о пересечении границы, иначе паспорт не пойдет по системе. Просто не получится взять на него рандеву. Купить можно при доверенности. Переводе и нотариусе тут на месте.