Подскажите пожалуйста, какой наиболее адекватный способ из РФ после Новогодних праздников забронировать недорогой отель в Анталье недели на две-три, пока будем искать квартиру?

Вы сами ответили. Островок.

Букинг, варианты "без предоплаты". или писать в варианты с предоплатой нельзя ли оплатить на месте.

С гарантией и оплатой с рублевой карты появилась опция у российских тур операторов. Открытие прошлой недели. Раньше раздельно отель и перелет туристам продавали не все. Цена адекватна