Летом в Батуми тоже постоянно дожди, пасмурно и холодно?

Достаточно просто посмотреть историю погоды за предыдущие года: неделя дождь, неделя солнце. Не очень жаркая погода, в районе +32, исторический максимум +41, т. е. в целом будет неплохая теплая погода. Вода прогревается вроде до +27-28.

Я не постоянно там живу, но дожди там постоянно) Скоро ещё градом будет посыпать регулярно и купите резиновые сапоги.

Нет, летом тут жарко и влажно.

Да. Батуми ещё с советских времён не считался курортным городом. Дожди здесь всегда. Сужу по опыту, в общей сложности в летний период прожила в Батуми три месяца, и по рассказам местных.