У меня свидетельство о рождении выдано 1981 в Латвийской ССР, у супруга Азербайджанской ССР. Мы граждане РФ. Где нам апостиль ставить? И надо ли это делать для подачи внж и гражданства в Аргентине?

Получать дубликаты в своих страхан и там апостилировать.

Все старые свидетельства о рождении не действительны, поэтому нужно получить повторное свидетельство о рождении и уже его апостилировать (на госуслугах услуга называется "Выдача повторных свидетельств о государственной регистрации актов гражданского состояния"). Возможно ли это провернуть в другой стране - большой вопрос, в РФ без своего присутствия можно по доверенности.