А если имея ПМЖ Болгарии открыть ООД, то счёт в банке на ООД откроют? Возникают проблемы в банках с открытием счета ООД с русским участием?

Наоборот: чтобы открыть фирму, вы должны вначале открыть накопителна сметка для уставного капитала - и максимальные трудности именно с этим, причём давно (у меня с ВНЖ не запросто это получилось ещё в 2018 году). Возможно, с ПМЖ это легче - не знаю. Попробуйте, потом нам расскажете.