Подскажите, пожалуйста, можно ли гражданину Болгарии ехать в Турцию на машине по доверенности (машина с болгарскими номерами, но хозяин другой болгарин)?

Можно, но надо правильно оформить документы и за рулем может быть только тот, на кого документы. При этом если надо будет оставить её в Аэропорту - надо обязательно сообщить об это в специальное окно и сообщить куда вы летите и куда возвращаетесь, если вылет за пределы Турции.