Хочу уточнить, точно ли в Казахстане работу можно искать в течении трёх месяцев? Или всё-таки одного месяца?

В Казахстане точно так же, к слову. Тоже при заезде "на работу" включаются строгие требования по срокам заключения договора. Просто для граждан ЕАЭС это смысла никакого не имеет, так как заезд по "туризму" не запрещает устраиваться на работу и времени дает достаточно. А вот для стран с другими договоренностями, заезд "по работе" может быть выгоднее по условиям пребывания, если действительно работа - цель.