Можно ли в Греции взаимодействовать с частными врачами и клиниками по принципу оплаты услуг в кассу или это совсем неподъемно дорого получится?

В частных клиниках Вас с удовольствием обслужат, любой каприз как говорится за Ваши лавэ.))) Другое дело что человек если пребывает в чужой стране, должен быть застрахованным. Иначе если какой-то острый случай, потом такой счёт могут выставить после лечения. Тем более разве для выдачи / обновления ВНЖ не требуется предъявлять страховку?

По страховке только в государственные. Если разве что страховка частная. Так то сходить к частному врачу по любым мелочам вполне можно себе позволить. А если как турист, то без страховки не можете находится тут, вроде как обязательно. Могу конечно ошибаться.