Если я был в Турции 14 дней в июне. И заехал снова 5 октября и по сей день 55 дней уже, я нарушил пребывание 60 дней? Или те 14 дней в июне не считают?

Вроде 90 дней вперед от даты выезда считают (или соответственно 90 дней назад от даты въезда)

60 дней за раз, 90 всего в полугодие Сейчас 5 дней осталось, если выехать после них - ещё 16 можно пробыть.