нужно ли бронировать жилье преждевременно, чтобы на границе вопросов не было?

Нет.

Не нужно, но в небольшой анкете при въезде, которую вы заполняете и которую отдаёте пограничнику … а также в анкете о здоровье, которую заполняете при въезде, есть вопросы: адрес в Монголии. Так что что-то написать все равно придётся… но достоверность никто не проверяет.