Может кто-нибудь знает, как доехать с аэропорта Кутаиси в Тбилиси? Какой транспорт часто ходит?

Пожалуй самый простой способ - omnibus или georgianbus.

Автобус стоит прямо в аеропорту, можно и через поезд(с аеропорта до вокзала и от туда с поездом).