А подскажите где покушать можно с детьми по дороге из Батуми в Гёреме)

Вам придётся не один раз кушать... Если поедите через Трабзон, то в ТЦ Форум есть большой фудкорт, а дальше по маршруту ищите либо придорожные, либо в городах (мы в Сивасе обедали). Как говорится Гугл в помощь) Из сетевых могу рекомендовать Kofteci Yusuf.