если получить ВНЖ и отказаться от квартиры (не продлевать аренду), могут ли аннулировать ВНЖ? Какие последствия? Все ещё остаёмся в Турции, но часто переезжаем.

Да.

Вы можете путешествовать, но у вас должен быть адрес постоянной регистрации, который соответствует вашему основному месту фактического проживания. Нарушение данного требования - основание для аннулирования ВНЖ.