Скажите пожалуйста, можно ли получив ВНЖ Сербии, сделать себе шенгенскую визу, для передвижения по ЕС ? Если да, сколько после получения внж это займет?

Теоретически можно. Практически сейчас европейские страны не горят желанием выдавать визы россиянам.

В некоторых посольствах можно, но выдают под даты поездки или на 1-2 месяца максимум.