мы с котом релоцируемся. И вот такой вопрос, если мы потом из Армении будем ехать ещё а какую-то третью страну. То какие нужно будет разрешения получать и где?

Зависит от того, в какую страну собираетесь и ее требования к документам. Но в Армении нет госветклиник, нужные справки можно сделать в частных ветеренарках за деньги. Ну либо заморочиться получать сертификат самому в карго в аэропорте.