Подскажите, с временной регистрацией можно легально работать в Киргизии или нужно получать разрешение на работу или какой то патент?

В таможенном союзе патент не нужен)

Можно. Договор и временная регистрация , с этими доками можно годами жить в КР.

Про патент не знаю, а вот без ПИНа вас никто на работу не возьмет. Аналог ИНН.