Можно ли сделать новый загранник в посольстве Армении на замену истекающему? И как?

Можно, электронная запись в консульство РФ, там же на сайте вся информация. но ловить слот на запись и ждать ее можно несколько месяцев.

Сделайте соцкарту и регистрацию и откройте банковский счёт до того, как у вас истечет загранник) а дальше просто жить можно и по российскому.