Если въезжать на территорию Казахстана, на автомобиле который принадлежит родственнику и в страховку я не вписан, могут ли возникнуть проблемы? Нужна ли доверенность?

Нужна доверенность нотариальная

Въехать вы можете, но на границе спросят законность владения/управления авто, что нужно будет подтвердить. Но даже если проедете границу, то по Казахстану в любом случае вам нужна будет новая страховка и сделать ее может только владелец авто.

Лучше сделать доверенность, сейчас даже на 10 лет дают.