А подскажите, пожалуйста, действительно мы сначала отдаем всё предоплаты в пару тысяч долларов с депозитом за квартиру, а договор нам подпишут только через пару дней, уже после регистрации?

Зарегистрируют в налоговой. и при вас причем. подписать можно и нужно до передачи денег.

Отдайте залог 100$ . А после подписания договора , оплатите.

Договор, ключи - только потом деньги. в тот же день можно ехать в налоговую. сразуже.