И я так понимаю - я не смогу открыть счет и выпустить карту без ВНЖ? Или достаточно будет того, что я буду зарегистрировано проживать?

В Черногории реально открыть с ВНЖ, но бывают сложности. Типо доказать источник происхождения денег и уплату с них налогов (2-НДФЛ с начала года + контакт). ВНЖ ЧГ сделать не сложно и не дорого.