Если подходит к концу 60-дневное пребывание в Турции, могу ли я начать процесс получения краткосрочные внж в последние дни?

Успейте подать заявку на ВНЖ и будете уже находиться легально до рандеву (примерно месяц), после рандеву процесс рассмотрения до 90 дней. Все это время вы будете легально находится на территории Турции.

С момента подачи заявления на внж, в любом случае в стране уже находишься легально и срок твоего предполагаемого внж начинает считаться с момента подачи заявления, а не одобрения.

Вы должны успеть подать заявку до истечения безвизовых дней. Дальше, когда вы ждете рандеву вы находитесь в стране легально.