Владелец должен сам прописывать? Разве нельзя с договором сходить в управу и прописаться?

Не, сам прописываешься.

Самому и нужно. Но, полицейники звонят владельцу и уточняют.

В управу можно не ходить. Заявление на прописку подается через eesti. ee. Если квартира не ваша, тогда нужно чтобы все собственники зашли туда же на сайт и поставили свои подписи.