Подскажите, а беженцы с Украины могут поехать из России в Грузию только с внутренним украинским паспортом (биометрическим)?

Вроде уже нет, но вы можете обратиться в мид Грузии с этим вопросом, у них есть контактная форма на сайте. Но вы должны понимать, что с внутренним паспортом вы въезжаете как беженка.

Скорее всего нет. Только из Европы в РФ сможете. Если вы въехали в РФ с таким паспортом, значит Вы уже прошли все круги ада и 5-24 часовые очереди на границе.