Скажите нужно ли будет при переезде в Белград подтверждать дипломы российских вузов? И водительское удостоверение?

При устройстве на работу могут потребоваться дипломы с подтверждением. Делается на месте. Вод удостоверение либо российское, либо менять на местное.

Всё зависит от того кем и где Вы собираетесь работать. Если врачем то обязательно. Инженером нет.

Требуют в первую очередь перевод, апостиль не нужен, нострификация зависит от работодателя.

После получения ВНЖ нужно поменять, но это не обязательно), так как все ездят по российским пока срок окончания не выйдет.