по трудовому договору смогу ли я законно жить в КЗ? И какие необходимы справки с России?

Если утрата прошла и корректировку ИИН сделали, то регистрацию по трудовому договору сможете сделать и жить законно.

По справкам из РФ для трудового договора не ответила. Нужен только загран из РФ, больше ничего. В процессе жизни здесь может пригодиться еще ИНН РФ (в банках иногда просят, но если его нет, то и не критично). В КЗ уже для трудового договора нужно будет ходатайство от работодателя, трудовой договор, заявление, ИИН КЗ. Это стандартный набор, могут быть какие-то дополнительные "хотелки" у лично вашей миграционки, но они в любом случае не будут касаться документов РФ, только в КЗ что-нибудь нужно будет донести.