Подскажите, пожалуйста, я получила гражданство в Болгарии, теперь хочу открыть счет в болгарском банке и карту получить. в каком банке лучше?

Дистанционно не выйдет. Открыть счёт и получить карту можно например и в ДСК.

Дистанционно болгарские банки открывают счета гражданам, но требовали явиться лично из-за наличия например второго российского гражданства Европейские банки открывают удаленно, карты присылают почтой И в любом случае вам нужен адрес и телефон в Болгарии.