Есть ли вариант получить иин в субботу в Казахстане?

Вряд ли, ЦОН в субботу не работает же.

Есть, если подавали через eGov в четверг/утро пятницы. А так только подать в онлайне в выходные и ждать понедельника.

У них выходной.

Нет.