У иностранца туристическая виза для РФ, в визе под «принимающей организацией» указано тур агенство в Москве, но на самом деле человек едет в другой город в гости. Возникнут проблемы из-за этого на погран. контроле?

Могут придраться, если очень захотят: частная поездка и турпоездка - это разные вещи. Чтобы не придрались, пусть иностранец регистрацию в рф через турагентство делает. Если не сможет, но спросят, скажет, что жил в частном секторе, ближе к народу.