Подскажите, а справку для боравка нужно делать только в Дом здравля в Будве или можно ещё где-нибудь, в частной клинике, например?

Можно в частной вроде как.

В Будве только в Доме Здравля. А вообще в частных можно в других городах. Можно сделать без визита в клинику