Подскажите пожалуйста, если ехать из России в Монголию не на своём автомобиле по доверенности заверений нотариусом но не вписан в страховку, будут ли проблемы с проездом границы?

В какую страховку? По российской страховке вы будете иметь дела на территории РФ с гайцами, как у вас с ними — вам виднее. В Монголии российские страховки авто по барабану, там надо оформлять местную.