на чем можно уехать из Батуми в Тбилиси (выйти в Хашури) в 5-6 утра?

Думаю, дикие маршрутки часов с 7 начнут ходить.

От Хашури уже придётся ловить, а как попасть на кукушку до Бакуриани я не знаю- наверно есть расписание поездов. Она очень долго едет что-то типа 2 часов вроде, когда на машине 30 минут. До места купания в парке идти пешком не мало. Я бы вам посоветовал, остановиться в Боржоми . Мы вот тоже напланируем маршрут на машине чтоб максимально за выходные везде успеть, в итоге мозг просто не останавливается-возвращаемся в Тбилиси уставшие( ценнее делать остановки и сливаться с этим тотальным бездельем .