В Эстонию пропустят, если забронировано лечение всего на одну ночь?

Да.

Дело не в том, сколько ночей, а в том, что за бумага у вас. Если написано, что вы (ваше фио) едете на лечение, то да, пропустят.(может быть в другой формулировке - лечебный пакет, программа "здоровье" и т. д, главное, что суть - лечение. А не просто бронь отеля.)

Сколько стоит такой пакет? Пустят ли с ребёнком?

Да.