Может ли российский гражданин приехать и зарегистрировать ООО, а также быть там директором? Есть ли требования по сроку нахождения директора россиянина на территории Армении?

Если Вы открываете ООО, то можете на этом основании получить ВНЖ на 1 год (с возможностью продлить) и иметь все права, что граждани РА. Но Вы должны оборот показывать, иначе действие ВНЖ анулируют.