Скажите, нужно ли регистрироваться в полиции по приезду в Армению? Как фиксировать количество дней пребывания?

Нет, не надо. Просто когда вылетаешь из Армении, тебе говорят что штраф)) Если более 180 дней.

Вы можете остаться в стране 180 дней, после этого выйти из страны и снова зайти, что бы обнулить срок. Но, что бы таких проблем не было можно либо прописку сделать, либо внж.