Можно приехать тупо с ребенком в Сербию, снять апарты, получить белый картон, устроить в школу ребенка и подать заявление на визу как сопровождающий на обучение?

Я не уверен(пусть поправят у кого дети в школе), хотя судя по информации ребенок будет учиться, а лично вам все таки придётся раз в месяц кататься на границу.

Увы, нет. И Вы и ребенок также обязаны визаранить каждые 30 дней. Среднее образование не даёт никаких преимуществ по ВНЖ, не является основанием.

Ребенку могут дать ВНЖ, родителям нужно свое основание.

Где-то проскакивал такой кейс, но это выглядит как "на усмотрение" инспектора и в текущих реалиях это не работает. У опекуна ребенка тоже должен быть внж.