Подскажите, пожалуйста, делал соцкарту для трудоустройства, но сейчас, когда получил - работодатель говорит, что соцкарта для граждан - это одно, а та, что дают приезжим - другое и она не подходит.

Вообще, это просто пластик для граждан и бумажка с номером для приезжих. Если я все правильно понимаю, тут с переводами названий документов труба полная, что отдельно доставляет. И там и там значим номер. Если вы ИП, тогда вам нужна не просто социальная карта, а нечто другое для сдачи бухгалтерской отчётности.

Пластик (residence card?) — это по сути внутренний паспорт для граждан РА. Если у вас гражданство РФ, то вас здесь легально могут нанять со внутренним паспортом РФ и социальным номером. Этого достаточно для уплаты работодателем налогов за вас. Потом идёте получить подтверждение (уже после найма), дающее право жить больше 6 месяцев, пока вы легально трудоустроены а РА. Фактически это форма ВНЖ, в других странах была бы отдельная рабочая виза.