В Батуми когда заканчивается турсезон и начинаются холода?

Ноябрь/ конец октября

Настоящие холода тут весной, начиная с февраля.

По-разному. Иногда с середины октября уже зима, а бывает что и в начале ноября можно купаться и загорать. Также и весной, бывает в марте уже сезон, а бывает снег ещё и в апреле может выпасть.