Может у кого-то был опыт подачи запроса в мигрейшн на подтверждение даты первого въезда на Кипр? Предоставляют ли они вообще что-то подобное?

Как бы нет, но бывает и да - в основном через профильных юристов можно сделать.

Можете попробовать самостоятельно в миграционной полиции, но надо знать все номера паспортов по которым въезжали.

Смотря для какой цели. Если доказать налоговой когда вы въехали, то это обычный кейс.

Если доказать европейской миграционной службе другой страны сколько вы жили/живёте на Кипре - то вам такая справка не поможет. Они считают только с даты выпуска первого ВНЖ.