Подскажите пожалуйста, можно ли с гражданином РФ для оформления ВНЖ в Беларуси составить договор безвозмездного пользования вместо договора найма?

Можно, если он вам родственник. Если нет, то надо будет объяснить в налоговой, что дохода вы не получаете.

Да можно не родственника и зарегистрировать у себя можно

И у налоговой разрешения спрашивать не надо