Скажите пожалуйста, на какой максимальный срок можно зарегистрировать гражданина РФ в Узбекистане у родственников? По окончании срока регистрации нужно ли выезжать с границы Узбекистана и обратно в этот же день заехать?

180 дней, после челночник.

Полгода. Каждые полгода нужно обновлять срок регистрации опять на полгода. И так по кругу.

В Ташкенте максимальный срок регистрации полгода. В областях могут на год зарегистрировать.

Выезжать никуда не нужно, просто заранее продлеваете, чтобы промежутков без регистрации не было. Продлевать можно неограниченное количество раз

На границу не надо гонять вообще

На 6 месяцев, продлевать можно бесконечно по 6 месяцев