Если с собакой лететь в Сербию из России с пересадкой в Стамбуле, и в Стамбуле сделать остановку на 2-3 дня погулять, не будут ли титры на бешенство просить в Сербии? Или лучше день в день пересадку делать чтобы вопросов не было?

В Сербии титры не нужны.

для точной информации лучше позвонить прямо в отдел Росприроднадзора в конкретный аэропорт, из которого будете вылетать, вам там ответят на все вопросы)

Если лететь без выхода в город в Стамбуле, титры точно не потребуются. Если с выходом, то по закону в Сербии могут потребовать титры. Турция красная по бешенству. Но мы когда везли собаку, нам его в Белграде просто отдали в руки, ничего не спросив. Но это не рекомендация к действию