Если у меня осталось до окончания загранпаспорта месяц, то выпустят ли в Тбилиси и там впустят ли меня? Заранее спасибо!

формально, с любым сроком действия загранпаспорта впускают в грузию) забронируйте на всякий случай обратный билет, если попросят показать, и имейте медстраховку туриста

У вас должно быть еще 6 месяцев до конца действия загранника, иначе высокий риск отказа во въезде

Впустят даже в последний день. Про 6 месяцев — бывает, но в других странах.