Можно ли по паспорту РФ находиться в Армении 180 дней без прописки? Или только по заграну? Могут ли регистрацию по паспорту РФ сделать?

Все из перечисленного можно)

Учтите, что делая регистрацию по паспорту РФ внутреннему вам с огромной долей вероятности захреначат штамп внутрь этого паспорта

После этого он станет недействительным внутри России