Я - гражданка Сербии (так как отец серб) и России. Живу в России . могу ли я полететь из России в Сербию по сербскому паспорту , не делая Загран паспорт России?

По моему, да. По аналогии граждане России должны приезжать в Россию только по российскому паспорту, даже если они живут не в России.

разумеется, у вас есть местный паспорт, при покупках билетов и тд указываете его серию и номер

Вылет из РФ только по загран паспорту РФ. У друга дочь гражданка Израиля и РФ, так однажды встряли и рейс улетел без неё.

Не совсем. Вы можете полететь по сербскому паспорту, но так как вы являетесь гражданкой и России, то на границе нужно будет предьявить российский загранник

через страну которая признает внутренние паспорта РФ на въезд, как гражданка РФ вы обязаны выехать по документам РФ, Армения скорее всего, можно еще Казахстан но будет подольше.