Кто подавал на упрощенную натурализацию по корням в Венгрии - можно ли остаться в Венгрии пока ждешь решения? Или нужно уехать и потом опять подавать на визу чтобы приехать в Венгрию и забрать паспорт?

Вы можете податься в Венгрии и перевести свое дело в ту страну, откуда вы. И присягу принимать в этой стране. Там получите айди, подадитесь оттуда на паспорт.

Я слышала, но повторю, только слышала, что можно с заявлением/описью поданных документов можно прийти в миграционку и попросить внж до ответа по гражданству. Но ничего об этом не знаю.

В анкете, которую вы заполняли и подписывали, вы должны были указать место, где бы вы хотели принять присягу -в Венгрии или в консульстве/посольстве Венгрии в конкретной стране. Если указали Венгрию, то принимать присягу надо будет там (если по вашему прошению будет принято положительное решение)