Подскажите пожалуйста если эстонский паспорт заканчивается 16 марта, когда я должна подать на новый?

Для визы, если просить сегодня, то месяц назад уже надо было подать. Эстонский паспорт для поездок должен действовать минимум 6 месяцев для визы.

Эстонский паспорт

в обычном порядке изготавливается до 30 дней, но есть ускоренные варианты: срочный — до 5 рабочих дней, ускоренный — до 10 дней, а стандартное оформление занимает до 15 дней (если подавать онлайн самостоятельно, иногда и за неделю уже приходит). Оформление через консульства может занимать до 6-10 недель. Срочный вроде требует доплаты в 250 евро, но нужно уточнить цену.

Ну вот и считайте сколько в вашем случае будут делать паспорт.