Скажите, пожалуйста, если я заеду в Болгарию из Турции с собакой со всеми необходимыми прививками, чипами, титрами, справками и т. п.

В принципе да

Мы перемешались с собакой в Стамбуле в общественном транспорте, где то не обращали внимание, а где то просили что бы собака была в переноске.

Да,можете свободно по ЕС перемещаться. В Стамбуле были с собакой 33 см в холке (пудель), ездили и на трамвае с ним,и на паромах городских без переноски.